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Stima della potenza
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JANUARY 2nd, 2019
In mancanza di un banco prova potenza, è possibile stimare la potenza di un veicolo mediante alcune prove pratiche. Durante una prova di accelerazione, un veicolo passa da uno stato ad energia nulla, a uno in cui ha guadagnato energia: cinetica (la velocità) e potenziale (la differenza di altitudine). Parte dell'energia verrà invece persa per attriti.
Prima approssimazione top
Supponiamo di effettuare una prova di accelerazione su strada piana (energia potenziale nulla), al termine della prova avremo raggiunto una certa velocità v. L'energia accumulata sarà:
U = 0.5*m*v2
- U = energia cinetica;
- m = massa totale del veicolo.
Per quanto riguarda le unità di misura, consiglio di utilizzare sempre quelle del S.I.. La potenza media utilizzata durante la prova si calcola dividendo l'energia per il tempo:
P = 0.5*m*v2/t
- t = tempo impiegato per effettuare l'accelerazione.
Per esempio, se ho un auto che al momento della prova pesa 1600 kg (naturalmente, compresa di pilota) e accelera da 0 a 100 km/h in 5 secondi, calcolo:
Seconda approssimazione top
Aggiungiamo le inerzie. Oltre ad accelerare il veicolo, il motore deve anche mettere in rotazione il cambio, le ruote ed eventuali alberi di trasmissione. Supponiamo di considerare solo le ruote, la loro energia cinetica al termine della prova sarà:
Uruota = 0.5*I*ω2
- Uruota = energia cinetica della ruota;
- I = momento di inerzia della ruota;
- ω = velocità di rotazione.
Consideriamo le ruote come se fossero dei cilindri uniformi. Con questa semplificazione, il loro momento di inerzia è:
I = mruota*r2/2
- mruota = massa di una ruota;
- r = raggio della ruota.
La velocità di rotazione ω dipenderà dalla velocità di avanzamento e dal raggio della ruota secondo la relazione:
ω = v/r
Sostituendo, trovo:
Uruota = 0.25*mruota*v2
E l'energia totale sarà:
Uruote, auto = mruotav2 , Uruote, moto = 0.5 * mruotav2
Questa energia va sommata a quella cinetica dell'intero veicolo, e l'energia totale va divisa per il tempo per ottenere la potenza:
Pauto = v2 (0.5 m + mruota)/t , Pmoto = v2/2 (m + mruota)/t
Si consideri il veicolo dell'esempio precedente, e supponiamo che ciascuna ruota pesi 20 kg, allora:
Terza approssimazione top
Consideriamo ora gli effetti dissipativi. Il più importante è rappresentato dalla resistenza aerodinamica, una forza che si oppone al moto del veicolo:
FD = 0.5 ρ CD A v2
- ρ = densità dell'aria;
- CD = coefficiente di resistenza aerodinamica;
- A = area frontale;
- v = velocità
Il lavoro dissipato da questa forza sarà:
Non conosciamo la relazione che lega la velocità al tempo. A velocità basse, l'accelerazione sarà alta, e più ci avvicineremo alla velocità massima, più bassa sarà l'accelerazione, fino ad essere pari a zero in corrispondenza della velocità massima. Quindi, la funzione v(t) sarà una curva decrescente, con un asintoto orizzontale in corrispondenza della velocità massima. Non conoscendo tale funzione, approssimiamo la velocità con una funzione lineare, sapendo di commettere un errore:
v(t) = (v2 - v1)/(t2 - t1) * t + v1
- v1 = velocità all'inizio della prova di accelerazione, pari a zero se con partenza da fermo;
- v2 = velocità alla fine della prova di accelerazione;
- t1 = tempo all'inizio della prova di accelerazione;
- t2 = tempo alla fine della prova di accelerazione.
Trovo così il lavoro della forza dissipativa. L'espressione generale è:
Se la prova di accelerazione è con partenza da fermo:
Aggiungiamo un coefficiente correttivo, per tenere conto del fatto che la v(t) non è lineare:
C = 2.5 * (v/vmax)2 - 3.3 * (v/vmax) + 2.5
Dove vmax è la velocità massima del veicolo. Probabilmente non conosciamo la velocità massima, in tal caso possiamo considerare C = 1.45, l'errore che commettiamo è piccolo. Ora, questa energia va sommata alle due precedenti. Come prima, dividendo per il tempo trovo la potenza. Consideriamo ancora una volta l'esempio precedente, assumiamo che l'auto in prova abbia un coefficiente CD = 0.3, un area frontale pari a 2.6 m2 e che la densità dell'aria sia pari a 1.2 kg/m3:
Ulteriori considerazioni top
Può anche capitare che la prova venga effettuata in una strada non piana, ma in salita o discesa. In tal caso, va aggiunto il termine relativo all'energia potenziale:
Uh = m * g * Δh
Dove Δh è la differenza di altitudine tra l'arrivo e la partenza. È importante considerare il tempo necessario per cambiare marcia, e il numero totale di cambiate. Questo tempo andrebbe poi sottratto dal tempo totale della prova. Se l'auto dell'esempio precedente arriva a 100 km/h in seconda marcia, e il tempo di cambiata è di 0.4 secondi, allora non va considerato un tempo di 5 secondi, ma di 4,6. La potenza passa così da 177 cv a 192 cv, una differenza notevole. Un calcolo della potenza eseguito in questo modo è sempre una approssimazione, e molto dipende dall'abilità del pilota nel riuscire a sfruttare al massimo la potenza del veicolo. Inoltre, specialmente se si sta testando un veicolo molto potente, eventuali pattinamenti, impennate (nel caso si parli di moto) e sfrizionamenti non fanno altro che aumentare il tempo totale, riducendo il valore della potenza calcolata. Per questo motivo, consiglio di considerare test che abbiano una velocità di arrivo pari ad almeno 2/3 della velocità massima, in modo da "diluire" le perdite nelle primissime fasi del test.
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